Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），，．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的極小值；

（3）若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)即得切線的斜率；求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求得切線方程；（2）討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域的關(guān)系得到其單調(diào)性，找出極小值點(diǎn)，求得極小值；（3）對任意的，總存在，使得成立，等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值，分別求出的最小值和的最小值，得到的范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

所以，即切線的斜率為．

又，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，

故曲線在處的切線方程為，

即．

（2），

，又的定義域，

∴當(dāng)時(shí)，令，或，

令，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴的極小值為，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，．

（3）對任意的，總存在，

使得成立，等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值，

當(dāng)時(shí)，，

在上遞減，，

由（2）知，在上遞增，

，

∴，即，又，

∴．