Question

已知函數(shù).

(I)若,求函數(shù)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)求證:

(Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的,函數(shù)是的導函數(shù))在區(qū)間上總不是單調函數(shù),求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(I) 的單調增區(qū)間為,減區(qū)間為  ；(Ⅱ) 證明詳見解析；(Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)先求導數(shù)，然后求導數(shù)大于或小于零的區(qū)間，即得原函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ)由(Ⅰ) 可知 當時,即對一切成立，可得，然后疊乘即可. (Ⅲ)求出，則，求出，，再求出，則，由于:對于任意的,恒成立,，所以，解出m即可.

試題解析：解：(Ⅰ)當時, ，解得；解得[的單調增區(qū)間為,減區(qū)間為 

(Ⅱ)證明如下: 由(Ⅰ)可知 當時,即,

∴對一切成立 

∵,則有,∴ 

 

(Ⅲ) ∵∴得, ,∴  

∵在區(qū)間上總不是單調函數(shù),且∴ 

由題意知:對于任意的,恒成立, 所以,,∴.

考點：1.函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)的性質；2.不等式的證明；3.導數(shù)性質的應用.