Question

已知數列{2^n-1•a_n}的前n項和S_n=9-6n．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=n（3-log₂

|an|

3

），求數列{

1

bn

}的前n項和．
（3）數列{c_n}的首項c₁=1，且c_n-2c_n-1=|a_n|（n≥2），求數列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出；
（2）利用“裂項求和”即可得出；
（3）變形轉化為等比數列，利用其通項公式即可得出．

解答：解：（1）n=1時，2⁰•a₁=S₁=9-6，∴a₁=3．
n≥2時，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=9-6n-[9-6（n-1）]=-6，∴an=

-3

2n-2

．
∴通項公式an=

3，n=1 -3 2n-2 ，n≥2

．
（2）當n=1時，b1=3-lo

g

3 3 2

=3，∴

1

b1

=

1

3

．
n≥2時，bn=n(3-lo

g	3 3•2n-2 2

)=n（n+1），∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

1

b1

+

1

b2

+…=

1

bn

=

1

3

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

3

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

5

6

-

1

n+1

=

5n-1

6(n+1)

（n=1時也成立）．
（3）∵c₁=1，且c_n-2c_n-1=|a_n|（n≥2），∴n=2時，c₂-2c₁=|a₂|=3，∴c₂=5，
n＞2時，cn=2cn-1+

3

2n-2

兩邊同時乘以2ⁿ，得2ncn=4×2n-1cn-1+12，即2n(cn+4)=4×(2n-1cn-1+4)．
∴數列{2^cc_n+4}是以6為首項，4為公比的等比數列，2ⁿc_n+4=6×4^n-1，∴cn=3×2n-1-22-n（n≥2）．
又C₁=1，滿足上式．
∴通項公式為cn=3×2n-1-22-n（n≥2）．

點評：數列掌握“利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求a_n”、裂項求和”、變形轉化為等比數列等是解題的關鍵．