Question

在正方體AC₁中，已知E、F、G、H分別是CC₁、BC、CD和A₁C₁的中點(diǎn)．證明：
（1）AB₁∥GE，AB₁⊥EH；
（2）A₁G⊥平面EFD．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明

AB1

=2

GE

，

AB1

•

EH

=0，即可得到結(jié)論；
（2）證明

A1G

•

DF

=0，

A1G

•

DE

=0，即可得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0），D（0，1，0）、A₁（0，0，1）、B₁（1，0，1）、C₁（1，1，1）、D₁（0，1，1），
由中點(diǎn)性質(zhì)得E（1，1，

1

2

）、F（1，

1

2

，0），G（

1

2

，1，0）、H（

1

2

，

1

2

，1）．
（1）則

AB1

=（1，0，1），

GE

=（

1

2

，0，

1

2

），

EH

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

）
∵

AB1

=2

GE

，

AB1

•

EH

=1×（-

1

2

）+1×

1

2

=0，
∴

AB1

∥

GE

，

AB1

⊥

EH

．
即AB₁∥GE，AB₁⊥EH．
（2）∵

A1G

=（

1

2

，1，-1），

DF

=（1，-

1

2

，0），

DE

=（1，0，

1

2

），
∴

A1G

•

DF

=

1

2

-

1

2

+0=0，

A1G

•

DE

=

1

2

+0-

1

2

=0，
∴A₁G⊥DF，A₁G⊥DE．
又DF∩DE=D，
∴A₁G⊥平面EFD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．