【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，
平面ABCD，
，
平面BDE，G是AB中點．
求證：
平面BCF；
若
，
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）詳見解析；（2）
．
【解析】
設
，連結OE，OF，推導出
，
平面ABCD，以O為原點，OA，OB，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明
平面BCF．
求出平面ABE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
設，連結OE，OF，
四邊形ABCD是菱形，
平面ABCD，
，
平面BDE，
，
，
平面ABCD，
設
，
，
，
以O為原點，OA，OB，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則
0，
，
，
b，
，
0，，
0，，
b，
，
0，，
，
設平面BCF的法向量為
y，
，
則
，取
，得
c，
，
，
平面BCF，
平面BCF．
設
，
，
，
，
，1，，
，
，
，
，
，
設平面ABE的法向量y，，
則
，取
，得
，
設平面BDE的法向量
y，，
則
，取
，得
0，
，
設二面角的平面角為
，
則
，
二面角的余弦值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:
(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;
(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求
的分布列和數學期望;
(Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取
個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點處的切線記為l2，且l1∥l2．
（1）求l1，l2之間的距離；
（2）若存在x使不等式
成立，求實數m的取值范圍；
（3）對于函數f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實數x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數在x0處的偏差．求證：函數f（x）和g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）的離心率為
，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T．
（I）求橢圓C的方程和點T的坐標；
（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線l′與直線l交于點P，試判斷
是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，用圖①的數表列出了一些正整數在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，該數表的規(guī)律是每行首尾數字均為
，從第三行開始，其余的數字是它“上方”左右兩個數字之和�，F(xiàn)將楊輝三角形中的奇數換成，偶數換成
，得到圖②所示的由數字和組成的三角形數表，由上往下數，記第
行各數字的和為
，如
，則
____________
① ②
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 設橢圓
的左焦點為
，左頂點為
，頂點為B.已知
（
為原點）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設經過點且斜率為
的直線
與橢圓在
軸上方的交點為
，圓
同時與軸和直線相切，圓心在直線
上，且
，求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業(yè)質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了
個零件進行測量，根據所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：
（1）根據頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數（結果精確到
）；
（2）若從這個零件中尺寸位于
之外的零件中隨機抽取
個，設
表示尺寸在
上的零件個數，求的分布列及數學期望
；
（3）已知尺寸在
上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售，每箱
個. 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為
元. 若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付
元的賠償費用. 現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了
個，結果有
個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.
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