Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（II）若a=2，b=1，若函數(shù)k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（III）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在定義域上不小于0，恒成立，根據(jù)基本不等式求出b的范圍．
（II）把函數(shù)在規(guī)定的區(qū)間上有零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)對應(yīng)的方程在這個(gè)區(qū)間上有解，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)最值，求出結(jié)果．
（III）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，根據(jù)直線平行，得到斜率之間的關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，得到兩個(gè)結(jié)論是矛盾的．

解答：解：（I）h（x）=lnx+x²-bx，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
∴依題知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0，
∴b≤2

2

（II）函數(shù)k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．
令m（x）=x-2lnx，
∴m′(x)=1-

2

x

∴m（x）在[1，2]上單減，在（2，3]上單增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
則PQ的中點(diǎn)R的橫坐標(biāo)

x1+x2

2

C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為k1=

2

x1+x2

C₂在點(diǎn)N處的切線的斜率為k2=

x1+x2

2

+b
假設(shè)C₁點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設(shè)u=

x2

x1

＞1
則lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

  （u＞1）
則r′(u)=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）單調(diào)遞增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

u+1

②
∵①與②矛盾，
∴假設(shè)不成立，故C₁點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，本題是一個(gè)壓軸題目，這個(gè)題目可以出現(xiàn)在高考卷的最后兩個(gè)題目的位是一個(gè)比較困難的題目．