Question

【題目】已知圓，圓內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.

（1）求圓心的軌跡的方程.

（2）過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交曲線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由圓與圓內(nèi)切可得，由橢圓的定義可得軌跡的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得：，利用韋達(dá)定理，可求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出垂直平分線的方程為，令，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得取值范圍.

（1）∵圓與圓內(nèi)切，圓的半徑為4，得，而，

∴，∴圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.

∴.∴.∴.

∴圓心的軌跡的方程為.

（2）設(shè)直線的斜率為，由直線不與坐標(biāo)軸垂直，故，直線的方程為，將直線的方程與的方程聯(lián)立得：消得：，

由韋達(dá)定理得：，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

則.

則垂直平分線的方程為.令，點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，

因?yàn)?/span>，所以，

故點(diǎn)被坐標(biāo)的取值范圍是：.