Question

某校從高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段
[40，50），[50，60），…[90，100]，其頻率分布直方圖如圖所示：
（Ⅰ）求第三小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計(jì)這次考試的平均分；
（Ⅲ） 假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的成績(jī)都不相同，且都在94分以上，現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，求這2個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)的概率．

Answer 1

分析：（I）由已知中頻率直方圖，我們根據(jù)各組的頻率和為1，求出殘缺組的頻率，乘以組距后，即可得到該組的矩形高度，進(jìn)而補(bǔ)充圖形；
（II）累加各組組中值與頻率的乘積，即可估計(jì)這次考試的平均分；
（Ⅲ） 用列舉法我們可以得到從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的基本事件數(shù)，如果這2數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)，則這2學(xué)生在[99，100]段，而[99，100]的人數(shù)是3人，我們可以列舉出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）第三小組的頻率：
1-（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.2…．（2分）
頻率分布直方圖如圖所示：
…．（4分）

（Ⅱ）利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分：

.

x

=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
估計(jì)這次考試的平均分是72分…．（9分）
（ⅡI）從95，96，97，98，99，100中抽取2個(gè)數(shù)全部可能的基本結(jié)果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100），
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100）
（98，99），（98，100）
（99，100）共15個(gè)基本結(jié)果．…．（11分）
如果這2數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)，則這2學(xué)生在[99，100]段，而[99，100]的人數(shù)是3人，不妨設(shè)這3人的成績(jī)是95，96，97．
則事件A：“2個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)”包括的基本結(jié)果有：（95，96），（95，97），（96，97），．
共有3個(gè)基本結(jié)果．…．（13分）
所以所求的概率為P（A）=

3

15

=

1

5

．…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本的數(shù)學(xué)特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，列舉法計(jì)算基本事件及事件發(fā)生的概率，其中（I）的關(guān)鍵是據(jù)各組的頻率和為1，求出殘缺組的頻率，（II）的關(guān)鍵是掌握由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法，（III）的關(guān)鍵是確定基本事件總個(gè)數(shù)及滿足條件的基本事件總數(shù)．