Question

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，）．

（Ⅰ）求的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）當(dāng)與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩角和的正弦公式展開，然后利用，，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）消參后得到曲線的方程，，為半圓弧，畫出兩曲線，根據(jù)圖像判斷，若有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，得到參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）曲線的直角坐標(biāo)方程為

，為半圓弧，

如圖所示，曲線為一族平行于直線的直線，

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，，

當(dāng)直線過點(diǎn)、兩點(diǎn)時(shí)，，

∴由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．