Question

已知函數(shù)∅（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是x的正比例函數(shù)，g（x）是x的反比例函數(shù)，且∅（

1

3

）=16，∅（1）=8．
（1）求∅（x）的解析式，并指出定義域；
（2）求∅（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，從而得到∅（x）的表達(dá)式，把∅（

1

3

）=16，∅（1）=8代入∅（x）的表達(dá)式得方程組，求得系數(shù)，求得∅（x）的解析式，使解析式有意義，得∅（x）的定義域；
（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式△≥0求得∅（x）的值域．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax，g（x）=

b

x

，a、b為比例常數(shù)，則∅（x）=f（x）+g（x）=ax+

b

x

由

?( 1 3 )=16 ?(1)=8

得

1 3 a+3b=16 a+b=8

，解得

a=3 b=5

∴∅（x）=3x+

5

x

，其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
（2）由y=3x+

5

x

，得3x²-yx+5=0（x≠0）
∵x∈R且x≠0，∴△=y²-60≥0，∴y≥2

15

或y≤-2

15

∴∅（x）的值域?yàn)椋?∞，-2

15

]∪[2

15

，+∞）

點(diǎn)評：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的一種方法，也是最容易掌握的一種方法；判別式法求函數(shù)的值域這種方法在削弱，題目不是太多．