Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+mx-2在（2，+∞）上單調(diào)增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對于任意的x∈[-2，2]，f（x）+n≤3都成立，求實(shí)數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意判斷出：-2和0是方程3x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根，代入列出方程，求出b和c的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式，再求出對稱軸方程，根據(jù)條件和二次函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求出m的范圍；
（3）由（1）和分離常數(shù)法得n≤-3x²-6x+3，再對二次式配方后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)y=-3x²-6x+3在已知區(qū)間上的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞），
∴-2和0是方程3x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根，
則

c=0 12-2b+c=0

，解得b=6，c=0，
∴f（x）=3x²+6x，
（2）由（1）得，g（x）=f（x）+mx-2=3x²+（6+m）x-2，
則g（x）的對稱軸是x=-

6+m

6

，
∵g（x）在（2，+∞）上單調(diào)增，
∴-

6+m

6

≤2，解得m≥-18，
（3）由（1）得，f（x）+n≤3，即n≤-3x²-6x+3=-3（x+1）²+6，
∵x∈[-2，2]，即當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=-3x²-6x+3取到最小值為-21，
∴n≤-21，實(shí)數(shù)n的最大值為-21．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次方程與不等式的關(guān)系，以及恒成立問題，利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．