Question

（13分）已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：

   （1）求；

   （2）求數(shù)列的通項公式；

   （3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

解析：（1）經(jīng)過計算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由條件可知：.…………①

類似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).

則由（2）可知：…………③

由，及可知.

當時，為整數(shù)，利用，結(jié)合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數(shù).

當時，③變?yōu)?IMG height=69 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090521/20090521210518028.gif' width=220>………④

我們用數(shù)學歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)

時，結(jié)論顯然成立，假設(shè)時結(jié)論成立，這時為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時，命題成立.

故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）