Question

拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），曲線C₂與C₁關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（8，0）的直線l交曲線C₂于M、N兩點(diǎn)，問在坐標(biāo)平面上能否找到某個(gè)定點(diǎn)Q，不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．若找不到，請(qǐng)說明理由；若能找到，寫出滿足要求的所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），由曲線C₂與C₁關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱．設(shè)拋物線C₁上任意一點(diǎn)（x，y）在曲線C₂上的對(duì)稱點(diǎn)為M（m，n），則有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)（8，0）的直線l的方程為y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，由此解得x₁x₂+y₁y₂=0．所以在坐標(biāo)平面上能定點(diǎn)Q（0，0），不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），
∵曲線C₂與C₁關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱．
設(shè)拋物線C₁上任意一點(diǎn)（x，y）在曲線C₂上的對(duì)稱點(diǎn)為M（m，n），
則有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，
整理可得：x=-（2+m）；y=2-n，代入拋物線C₁得：
（2-n-2）²=-8（-2-m+2），
整理得：（-n）²=-8（-m），
n²=8m，
因此C₂的方程是y²=8x．
（Ⅱ）存在，僅一點(diǎn)（0，0）．
設(shè)過點(diǎn)（8，0）的直線l的方程為y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，
∴y₁y₂=（kx₁-8k）（kx₂-8k）
=k2x1x2-8kx2-8kx1+64k2
=-64，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴在坐標(biāo)平面上能定點(diǎn)Q（0，0），不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足要求的所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)的求示．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．