Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₃=0，S₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1	a2n-1a2n+1

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差，直接由S₃=0，S₅=-5列方程組求出，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列{

1

a2n-1a2n+1

}的通項(xiàng)中進(jìn)行列項(xiàng)整理，則利用裂項(xiàng)相消可求數(shù)列{

1

a2n-1a2n+1

}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)d

2

．
由已知可得

3a1+3d=0 5a1+ 5(5-1) 2 d=0

，即

3a1+3d=0 5a1+10d=0

，解得a₁=1，d=-1，
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）•（-1）=2-n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

a2n-1a2n+1

=

1

(3-2n)(1-2n)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)．
從而數(shù)列{

1

a2n-1a2n+1

}的前n項(xiàng)和
S=

1

2

[(

1

-1

-

1

1

)+(

1

1

-

1

3

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]
=

1

2

(-1-

1

2n-1

)=

n

1-2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．