Question

如圖，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=4

3

，D為BC邊上一點(diǎn)．
（I）若AD=2，S_△DAC=2

3

，求DC的長；
（Ⅱ）若AB=AD，試求△ADC的周長的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，把已知的面積，以及AC、AD的長代入，求出sin∠DAC的值，由B的范圍，得到∠BAC的范圍，進(jìn)而確定出∠DAC的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠DAC的度數(shù)，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的長；
（Ⅱ）由B=

π

3

，AB=AD，得到三角形ABD為等邊三角形，可得出∠ADC為

2π

3

，進(jìn)而得到∠DAC+∠C=

π

3

，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周長，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由∠ADC的度數(shù)，得到C的范圍，可得出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，確定出正弦函數(shù)的最大值，即可得到周長的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵S△DAC=2

3

，AC=4

3

，AD=2，
∴

1

2

•AD•AC•sin∠DAC=2

3

，
∴sin∠DAC=

1

2

，（2分）
∵B=

π

3

，∴∠DAC＜∠BAC＜π-

π

3

=

2π

3

，
∴∠DAC=

π

6

，（3分）
在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2-2AD•ACcos

π

6

，（4分）
∴DC2=4+48-2×2×4

3

×

3

2

=28，
∴DC=2

7

；（6分）
（Ⅱ）∵AB=AD，B=

π

3

，∴△ABD為正三角形，
∵∠DAC=

π

3

-C，∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，根據(jù)正弦定理，可得：

AD

sinC

=

4 3

sin 2π 3

=

DC

sin( π 3 -C)

，（7分）
∴AD=8sinC，DC=8sin(

π

3

-C)，（8分）
∴△ADC的周長為AD+DC+AC=8sinC+8sin(

π

3

-C)+4

3

=8（sinC+

3

2

cosC-

1

2

sinC）+4

3

=8（

1

2

sinC+

3

2

cosC）+4

3

（9分）
=8sin（C+

π

3

）+4

3

，（10分）
∵∠ADC=

2π

3

，∴0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，（11分）
∴當(dāng)C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

時，sin（C+

π

3

）的最大值為1，
則△ADC的周長最大值為8+4

3

．（13分）

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．