Question

已知.

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）若為常數(shù)，且，記，求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，突出考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，是恒成立問(wèn)題，先將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，求的最值是本問(wèn)的關(guān)鍵，法一，利用基本不等式求最值，法二，利用導(dǎo)數(shù)求最值，無(wú)論用哪種方法都應(yīng)注意函數(shù)的定義域；第二問(wèn)，令，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)成的形式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求.

試題解析：（1）（解法一）

設(shè)，

∴，∴的最大值為.

（解法二）設(shè)，

，

∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴為極小值點(diǎn)，

∴，∴，∴的最大值為.

（2）設(shè)，則，則

令，則

即，

設(shè)，∵其對(duì)稱(chēng)軸，

在上單調(diào)遞減，∴，

∴，.

考點(diǎn)：1.恒成立問(wèn)題；2.基本不等式；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；4.二次函數(shù)的單調(diào)性和最值.