Question

t∈(0，10)，由t確定兩個(gè)任意點(diǎn)P(t，t)，Q(10－t，0)，問：①直線PQ是否能通過點(diǎn)M(6，1)和N(4，5)；②在內(nèi)作內(nèi)接正方形ABCD，頂點(diǎn)A、B在邊OQ上，頂點(diǎn)C在邊PQ上，頂點(diǎn)D在邊OP上．

(1)求證：頂點(diǎn)C一定在直線上；

(2)求圖中陰影部分面積的最大值，并求此時(shí)頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)

Answer 1

答案：略
解析：

①由兩點(diǎn)式可得直線PQ的方程為 ， 假設(shè)點(diǎn)M在PQ上，則有 ，而△＜0，無實(shí)根， ∴M不在PQ上． 同理得：－16t＋50=0得=8－，=8＋(舍去)[∵t∈(0，10)] 當(dāng)t=8－時(shí)，直線PQ過點(diǎn)N(4，5)． ②由已知可設(shè)A(a，0)、B(2a，0)、C(2a，a)、D(a，a) (1)由C(2a，a)知，頂點(diǎn)C在直線上． (2)令陰影面積為S，則 ，∵t∈(0，10) ∴ 又∵點(diǎn)C(2a，a)在直線PQ上 ∴2at－(2t－10)a=－＋l0t ∴ ∴ ∴當(dāng)時(shí)，， 此時(shí)，A、B(5，0)、C、D

提示：

本題體現(xiàn)方程函數(shù)思想，用到待定系數(shù)法及解方程的知識(shí)． ①這是一道結(jié)論開放的探索性命題，通常假設(shè)結(jié)論是肯定的，若由此推導(dǎo)出的結(jié)果與已知條件和其他數(shù)學(xué)定理無矛盾，則結(jié)論是肯定性的，否則，結(jié)論就是否定的． ②最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值．