Question

（2012•浙江模擬）過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F₂作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A，B．若

F2A

=

AB

，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

A．3x±y=0

B．x±3y=0

C．2x±3y=0

D．3x±2y=0

Answer 1

分析：由F₂（c，0），知y=-x+c，漸近線y=

b

a

x，y=-

b

a

x，由

y=-x+c y= b a x

，得A（

ac

a+b

，

bc

a+b

），由

y=-x+c y=- b a x

，得B（

ac

a-b

，

-bc

a-b

），所以|

F2A

|=

2 bc

a+b

，|

AB

|=

2 2 abc

a2-b2

．由|

F2A

|=|

AB

|，解得b=3a，由此能求出雙曲線的漸近線方程．

解答：解：∵F₂（c，0），∴y=-x+c，
漸近線y=

b

a

x，y=-

b

a

x，
由

y=-x+c y= b a x

，得A（

ac

a+b

，

bc

a+b

），
由

y=-x+c y=- b a x

，得B（

ac

a-b

，

-bc

a-b

），
∴|

F2A

|=

(c- ac a+b )2+( bc a+b )2

=

2 bc

a+b

，
|

AB

|=

( ac a+b - ac a-b )2+( bc a+b + bc a-b )2

=

2 2 abc

a2-b2

．
∵|

F2A

|=|

AB

|，∴

2 bc

a+b

=

2 2 abc

a2-b2

．
解得b=3a，
∴雙曲線的漸近線方程為3x±y=0．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．