Question

（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，且縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)4倍的伸壓變換，求橢圓

x2

9

+

y2

16

=1在M^-1的作用下得到的新曲線的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的變換將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)收縮到原來(lái)的

1

3

倍，且縱坐標(biāo)收縮到原來(lái)

1

4

倍．由此設(shè) P（m，n）是已知橢圓上一點(diǎn)，在M^-1的作用下P點(diǎn)變?yōu)镻'（x，y），得到用x、y表示P的坐標(biāo)的式子并代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即可得到所求新曲線的方程．

解答：解：∵矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，且縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)4倍的伸壓變換，
∴矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的變換是矩陣M對(duì)應(yīng)變換的逆變換，
可得M^-1是將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)收縮到原來(lái)的

1

3

倍，且縱坐標(biāo)收縮到原來(lái)

1

4

倍的伸壓變換
因此，設(shè)P（m，n）是橢圓

x2

9

+

y2

16

=1上一點(diǎn)，在M^-1的作用下P點(diǎn)變?yōu)镻'（x，y）在新曲線上
∵

x= 1 3 m y= 1 4 n

，∴

m=3x n=4y

，得P（3x，4y）
∵P（3x，4y）是橢圓

x2

9

+

y2

16

=1上一點(diǎn)，
∴

(3x)2

9

+

(4y)2

16

=1，化簡(jiǎn)得x²+y²=1，即為所求新曲線的方程．

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩陣變換，求已知橢圓在矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的變換下所得新曲線的方程，著重考查了曲線與方程、矩陣變換等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．