Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線x=1的距離之比為．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交曲線C于A、B兩點(diǎn)，l₂交曲線C于M、N兩點(diǎn)．求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，直接利用條件寫方程，化簡(jiǎn)．
（2）當(dāng)當(dāng)直線l₁，l₂之一與x軸垂直時(shí)，易求此定值，當(dāng)直線l₁，l₂都不與x軸垂直時(shí)，設(shè)出直線l₁的方程，得到l₂的方程，將l₁的方程于雙曲線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算與，進(jìn)而計(jì)算•的值，同理計(jì)算•的值，即得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題意得：．
所以點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²=2．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁，l₂之一與x軸垂直，不妨設(shè)l₁與x軸垂直，此時(shí)，，，，，，
所以．（6分）
當(dāng)直線l₁，l₂都不與x軸垂直時(shí)，
由題意設(shè)直線l₁為y=k（x-2）k≠0，
則l₂的方程，
由得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．（7分）
因?yàn)閘₁交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，
所以解得k≠±1．（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180327162862618/SYS201310241803271628626018_DA/19.png">=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
所以=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]==（11分）
同理，（12分）
所以=，
即為定值0．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用．