Question

已知動點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為

1

2

．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點(diǎn)，求|PM|+|PF|的最大值及此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為

1

2

，建立方程，化簡可得動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）根據(jù)點(diǎn)M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點(diǎn)，可得|PM|≤|PC|+1，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，從而|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是CF₁延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，即可求得|PM|+|PF|的最大值，進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意得：

(x-1)2+y2

=

1

2

|x-4|，化簡可得

x2

4

+

y2

3

=1
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1----（5分）
（2）∵點(diǎn)M是圓C：x²+（y-3）²=1上的動點(diǎn)，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF₁|，------（7分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
當(dāng)點(diǎn)P是CF₁延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，
∴|PM|+|PF|的最大值為

10

+5，------（10分）
此時(shí)直線CF₁的方程是y=3x+3，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組

y=3x+3 x2 4 + y2 3 =1

的解，消去y得，13x²+24x+8=0，----（11分）
解得x=

-12±2 10

13

，
∴xp=

-12-2 10

13

，yp=

3-6 10

13

，----（13分）
此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為（

-12-2 10

13

，

3-6 10

13

）．-------------（14分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，合理運(yùn)用圓的性質(zhì)，有一定的綜合性．