Question

已知等腰三角形的底角的正弦值等于

4

5

，則該三角形的頂角的正切值為

24

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，三角形ABC，AB=AC，過(guò)A作底邊BC上的高AD，根據(jù)“三線(xiàn)合一”得到AD為頂角平分線(xiàn)，可得∠BAD等于∠BAC的一半，又根據(jù)底角的正弦值，設(shè)出底角對(duì)邊AD及斜邊AB，利用勾股定理表示出BD，在直角三角形ABD中，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義求出tan∠BAD的值，然后利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan∠BAC，將求出的tan∠BAD的值代入即可求出頂角的正切值．

解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，
如圖所示：過(guò)A作AD⊥BC，與底邊BC交于D點(diǎn)，

由題意得：sinB=

4

5

，設(shè)AD=4x，則AB=5x，
根據(jù)勾股定理可得BD=3x，
∴tan∠BAD=

BD

AD

=

3

4

，
又AB=AC，且AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAD，
則tan∠BAC=

2tan ∠BAC 2

1-tan2 ∠BAC 2

=

2tan∠BAD

1-tan2∠BAD

=

24

7

．
故答案為：

24

7

點(diǎn)評(píng)：此題考查了銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及二倍角的正切函數(shù)公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．