Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并解不等式；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，不等式的解集為（3）

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，由，即可求解；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，比較的大小關(guān)系，即可證明函數(shù)單調(diào)性，再由，利用單調(diào)性解不等式.

（3）由（1）中解析式，寫出解析式，運(yùn)用換元法，設(shè)，則恒成立，可轉(zhuǎn)化成，恒成立，根據(jù)恒成立思想，轉(zhuǎn)化不等式，即可求解.

解：（1）由為定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，

，得；經(jīng)檢驗(yàn)適合題意

（2）由（1）知，.

設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則

由是定義在上的增函數(shù)，又，；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，，；

于是，即.

所以，函數(shù)是定義在上的減函數(shù).

；

是定義在上的減函數(shù)，∴上式等價(jià)于，即；

∴不等式的解集為.

（3）.

設(shè)，則，恒成立，

即，恒成立，

整理得，，恒成立.

設(shè)，，

則，若滿足題意需，即；

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.