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        1. (14分)已知函數(shù),其中a是實數(shù),設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為該函數(shù)圖象上的點,且x1<x2

          (I)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

          (II)若函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;

          (III)若函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線重合,求a的取值范圍.

           

          【答案】

          (I)f(x)在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減,在(﹣1,0)上單調(diào)遞增(II)1(III)(﹣1﹣ln2,+∞)

          【解析】(I)當x<0時,f(x)=(x+1)2+a,

          ∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減,在(﹣1,0)上單調(diào)遞增;

          當x>0時,f(x)=lnx,在(0,+∞)單調(diào)遞增.

          (II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f(x)=2x+2,

          ∴函數(shù)f(x)在點A,B處的切線的斜率分別為f(x1),f(x2),

          ∵函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線互相垂直,

          ,

          ∴(2x1+2)(2x2+2)=﹣1.

          ∴2x1+2<0,2x2+2>0,

          =1,當且僅當﹣(2x1+2)=2x2+2=1,即時等號成立.

          ∴函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值為1.

          (III)當x1<x2<0或0<x1<x2時,∵,故不成立,∴x1<0<x2

          當x1<0時,函數(shù)f(x)在點A(x1,f(x1)),處的切線方程為

          ,即

          當x2>0時,函數(shù)f(x)在點B(x2,f(x2))處的切線方程為,即

          函數(shù)f(x)的圖象在點A,B處的切線重合的充要條件是,

          由①及x1<0<x2可得﹣1<x1<0,

          由①②得=

          ∵函數(shù),y=﹣ln(2x1+2)在區(qū)間(﹣1,0)上單調(diào)遞減,

          ∴a(x1)=在(﹣1,0)上單調(diào)遞減,且x1→﹣1時,ln(2x1+2)→﹣∞,即﹣ln(2x1+2)→+∞,也即a(x1)→+∞.

          x1→0,a(x1)→﹣1﹣ln2.

          ∴a的取值范圍是(﹣1﹣ln2,+∞).

           

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          π
          6
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          1
          2
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