Question

（2009•黃浦區(qū)二模）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所需原材料噸數(shù)及一周內(nèi)可用工時(shí)總量如下表所示．

	每噸甲產(chǎn)品消耗	每噸乙產(chǎn)品消耗	每周可供使用的總量
原材料（噸數(shù)）	3	2	16
生產(chǎn)時(shí)間（小時(shí)）	5	1	15

已知銷售甲、乙產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)分別為5萬(wàn)元和2萬(wàn)元．試問生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸時(shí)，該廠每周獲得的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：設(shè)工廠一周內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每周所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元，依據(jù)題意，得約束條件為

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

，和目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y，然后求得最優(yōu)解，即求得利潤(rùn)的最大值和最大值的狀態(tài)．

解答：解：設(shè)工廠一周內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每周所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元．　�。�1分）
依據(jù)題意，得約束條件為

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

．　　　　　　　　　　　�。�4分）
求目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y的最大值．     　 　　    （6分）
畫出約束條件的可行域，如圖陰影部分所示．　    （8分）
將直線5x+2y=0向上平移，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過可行域的最后一個(gè)點(diǎn)B（2，5）時(shí)，函數(shù)z=5x+2y的值最大（也可通過代凸多邊形端點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算求得），最大值為5×2+2×5=20（萬(wàn)元）．　　　　　　　　（11分）
所以每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品2噸，乙產(chǎn)品5噸時(shí)，工廠可獲得的周利潤(rùn)最大（20萬(wàn)元）．（12 分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃研究目標(biāo)函數(shù)的最大和最小值，關(guān)鍵是通過平面區(qū)域，求得最優(yōu)解，屬于線性規(guī)劃的應(yīng)用題．