Question

【題目】（1）已知橢圓方程為，點(diǎn)．

i．若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)記直線的斜率分別為，試計(jì)算的值；

ii．若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)記直線的斜率分別為，試計(jì)算的值；

（2）根據(jù)上題結(jié)論探究：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線的斜率都存在，并分別記為，試猜想的值，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）i直接求出、的值，即可得結(jié)果；ii直接求出的值，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)兩種特殊情況進(jìn)行歸納推理可得： ，其中點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，然后設(shè)出點(diǎn) 的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，變形整理即可得到是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值.

試題解析：（1）i. 因?yàn)?/span>,

所以

ii. 因?yàn)?/span>，

所以

（2）猜想

證明: 設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),從而,設(shè)點(diǎn),

由,

得（*）

由， ，

代入（*）式得

所以