Question

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實(shí)數(shù)．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實(shí)數(shù)λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個(gè)特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計(jì)算f的特征值，并求相應(yīng)的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實(shí)數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿足什么條件？試找出一個(gè)映射f，滿足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件．

Answer 1

分析：（1）由新定義可得y12+y22=

1

4

x12+x22，利用x12+x22=1，可得y12+y22≤1，從而可得結(jié)論；
（2）由特征值的定義可得：

x1+x2=λx1 x1-x2=λx2

，由此可得f的特征值，及相應(yīng)的

x

；
（3）解方程組

a1x1+a2x2=λx1 b1x1+b2x2=λx2

，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0，從而可得a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿足的條件，當(dāng)f（

λ

）=λ

x

時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）由于此時(shí)y12+y22=

1

4

x12+x22，
又因?yàn)槭窃?span id="u4pnjb3" class="MathJye">x12+x22=1的條件下，有y12+y22=

1

4

x12+x22=

1

4

+

3

4

x22≤1（x₂=±1時(shí)取最大值），
所以此時(shí)有||f||=1；…（4分）
（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：

x1+x2=λx1 x1-x2=λx2

，
解此方程組可得：（λ-1）（λ+1）=1，從而λ=±

2

．
當(dāng)λ=

2

時(shí)，解方程組

x1+x2= 2 x1 x1-x2= 2 x2

，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，
所以此時(shí)方程有無窮多個(gè)解，為

x

=m(

2

+1，1)（寫出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．
當(dāng)λ=-

2

時(shí)，同理可得，相應(yīng)的

x

=m(1-

2

，1)（寫出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）
（3）解方程組

a1x1+a2x2=λx1 b1x1+b2x2=λx2

，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0
從而向量（a₁-λ，b₁）與（a₂，-b₁-λ）平行，
從而有a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿足：(a1-b2)2+4a2b1=0．
當(dāng)f（

λ

）=λ

x

時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具體證明為：
由f的定義可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ為特征值．
此時(shí)a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ滿足：(a1-b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．
在x12+x22=1的條件下(λx1)2+(λx2)2=λ²，從而有||f||=|λ|．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．