Question

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實(shí)數(shù)．定義映射f的模為：在||=1的條件下||的最大值，記做||f||．若存在非零向量R²，及實(shí)數(shù)λ使得f（）=，則稱(chēng)λ為f的一個(gè)特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計(jì)算f的特征值，并求相應(yīng)的；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實(shí)數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試找出一個(gè)映射f，滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗(yàn)證f滿(mǎn)足這兩個(gè)條件．

Answer 1

解：（1）由于此時(shí)=，
又因?yàn)槭窃?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/728.png' />=1的條件下，有==≤1（x₂=±1時(shí)取最大值），
所以此時(shí)有||f||=1；
（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：，
解此方程組可得：（λ-1）（λ+1）=1，從而λ=±．
當(dāng)λ=時(shí)，解方程組，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，
所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解，為（寫(xiě)出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．
當(dāng)λ=-時(shí)，同理可得，相應(yīng)的（寫(xiě)出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．
（3）解方程組，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0
從而向量（a₁-λ，b₁）與（a₂，-b₁-λ）平行，
從而有a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿(mǎn)足：．
當(dāng)f（）=λ時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具體證明為：
由f的定義可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ為特征值．
此時(shí)a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ滿(mǎn)足：，所以有唯一的特征值．
在=1的條件下=λ²，從而有||f||=|λ|．
分析：（1）由新定義可得=，利用=1，可得≤1，從而可得結(jié)論；
（2）由特征值的定義可得：，由此可得f的特征值，及相應(yīng)的；
（3）解方程組，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0，從而可得a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿(mǎn)足的條件，當(dāng)f（）=λ時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再進(jìn)行證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．