Question

如圖，設(shè)A(

3

2

，

1

2

)是單位圓上一點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.2秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B，t秒時(shí)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)P．設(shè)P（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=sin(ωt+φ)(-

π

2

＜φ＜

π

2

)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求f（t）；
（2）若0≤t≤6，求

AP

•

AB

的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOB=2×

2π

12

=

π

3

，
∴∠XOB=

π

2

∴，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1）…（2分）
又t秒時(shí)，∠XOP=

π

6

+

π

6

t…（4分）
∴y=sin(

π

6

t+

π

6

)，(t≥0)．…（6分）
（2）由A(

3

2

，

1

2

)，B（0，1），得

AB

=(-

3

2

，

1

2

)，
又P(cos(

π

6

t+

π

6

)，sin(

π

6

t+

π

6

))，
∴

AP

=(cos(

π

6

t+

π

6

)-

3

2

，sin(

π

6

t+

π

6

)-

1

2

)，…（8分）
∴

AP

•

AB

=

3

4

-

3

2

cos(

π

6

t+

π

6

)-

1

4

+

1

2

sin(

π

6

t+

π

6

)=

1

2

+sin(

π

6

t+

π

6

-

π

3

)=

1

2

+sin(

π

6

t-

π

6

)…（10分）
∵0≤t≤6，
∴

π

6

t-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(

π

6

t-

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（12分）
∴，

AP

•

AB

的取值范圍是[0，

3

2

]…（14分）