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        1. (2012•葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)=
          8
          3
          x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x.
          (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
          (2)若f(x)與g(x)有交點(diǎn),且在交點(diǎn)處的切線均為直線y=3x,求a,b的值并證明:在公共定義域內(nèi)恒有f(x)≥g(x).
          (3)設(shè)A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),C(t,g(t))是y=g(x)圖象上任意三點(diǎn),且-
          1
          2
          <x1<t<x2,求證:割線AC的斜率大于割線BC的斜率.
          分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),計(jì)算判別式,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)求出g′(x),令g′(x)=3可得切點(diǎn)的坐標(biāo),可求a的值,利用f′(x)=3,可求b的值.構(gòu)造函數(shù)φ(x)=f(x)-g(x),求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,證明φ(x)≥0即可;
          (3)KAC=
          g(t)-g(x1)
          t-x1
          ,KBC=
          g(t)-g(x2)
          t-x2
          ,構(gòu)造h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1),證明h(t)>0,可得KAC
          3+2t
          1+2t
          ,同理可證:KBC
          3+2t
          1+2t
          ,從而可得結(jié)論.
          解答:解:(1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b
          ①當(dāng)△≤0即b≥
          1
          2
          時(shí),f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
          ②當(dāng)△>0即b<
          1
          2
          時(shí),由f′(x)=0得x1=
          1-
          1-2b
          4
          ,x2=
          1+
          1-2b
          4

          若f′(x)>0,則x<
          1-
          1-2b
          4
          或x>
          1+
          1-2b
          4

          若f′(x)>0,則
          1-
          1-2b
          4
          <x<
          1+
          1-2b
          4

          ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:(-∞,
          1-
          1-2b
          4
          ],[
          1+
          1-2b
          4
          ,+∞);f(x) 的單調(diào)減區(qū)間為:[
          1-
          1-2b
          4
          ,
          1+
          1-2b
          4
          ]
          綜上所述:當(dāng)b≥
          1
          2
          時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)b<
          1
          2
          時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:(-∞,
          1-
          1-2b
          4
          ],[
          1+
          1-2b
          4
          ,+∞);f(x) 的單調(diào)減區(qū)間為:[
          1-
          1-2b
          4
          ,
          1+
          1-2b
          4
          ]
          …(4分)
          (2)g′(x)=
          2
          1+2x
          +1=
          3+2x
          1+2x
          ,令g′(x)=3得:x=0,∴切點(diǎn)為(0,0),∴f(0)=0,∴a=0
          ∵f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3,∴a=0,b=3         …(6分)
          令φ(x)=f(x)-g(x),則φ′(x)=f′(x)-g′(x)=
          16x3
          1+2x

          ∴φ(x)在(-
          1
          2
          ,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增,
          ∴φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0
          ∴φ(x)≥0   即:f(x)≥g(x)             …(8分)
          (3)KAC=
          g(t)-g(x1)
          t-x1
          ,KBC=
          g(t)-g(x2)
          t-x2

          令h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1
          則h′(t)=2 (g(t)-g(x1))+(1+2t)g′(t)-2(t-x1)-(3+2t)=2 (g(t)-g(x1))-2(t-x1)=2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))
          ∵y=ln(1+2x)在(-
          1
          2
          ,+∞)上單調(diào)遞增,且t>x1,
          ∴l(xiāng)n(1+2t)-ln(1+2x1)>0,∴h′(t)>0
          ∴h(t)在(x1,t)上單調(diào)遞增,∴h(t)>h(x1)=0
          ∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0
          ∴(1+2t)(f(t)-f(x1))>(3+2t)(t-x1
          ∵t-x1>0,1+2t>0,∴
          g(t)-g(x1)
          t-x1
          3+2t
          1+2t
            即KAC
          3+2t
          1+2t

          同理可證:KBC
          3+2t
          1+2t

          ∴KAC>KBC即割線AC的斜率大于割線BC的斜率;…(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•葫蘆島模擬)已知f(x)=3sinx-πx,命題p:?x∈(0,
          π
          2
          ),f(x)<0,則(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•葫蘆島模擬)袋中有6個(gè)小球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,甲乙兩人玩游戲,先由甲從袋中任意摸出一個(gè)小球,記下號(hào)碼a后放回袋中,再由乙摸出一個(gè)小球,記下號(hào)碼b,若|a-b|≤1,就稱甲乙兩人“有默契”,則甲乙兩人“有默契”的概率為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•葫蘆島模擬)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率為
          1
          2
          ,過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)(其中A點(diǎn)在x軸上方),則
          |AF|
          |BF|
          的值等于( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•葫蘆島模擬)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,PA=AB=BC=
          12
          CD=a.
          (1)求證:面PAD⊥面PAC;
          (2)求二面角D-PB-C的余弦值;
          (3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

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