Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

(1)  ; (2) .

解析試題分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)，由條件為等腰三角形，分析出，代入兩點(diǎn)間距離公式，利用消去，得a、c的關(guān)系，得出e的值；（2）由得，，推出橢圓方程，由即，，得，得，與橢圓：聯(lián)立得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再表示，代入中，整理得點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)，
由題意,可得,即，             2分
整理得，得 (舍)或，所以.           4分 
（2）由（1）知，,可得橢圓方程為.
直線方程為                           5分
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理得  6分
解得得方程組的解,           8分
不妨設(shè),,設(shè)的坐標(biāo)為
則,，               10分
由得.
于是,         11分
由得，
化簡(jiǎn)得，                       13分
將代入得，
由得.因此,點(diǎn)的軌跡方程是.  14分
考點(diǎn)：1.兩點(diǎn)間距離公式；2.斜率公式.