Question

已知

OA

=（1，7），

OB

=（3，1），D為線段AB的中點，設M為線段OD上的任意一點，（O為坐標原點），求

MA

•

MB

的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意求得 

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）=（2，4），可設

OM

=λ

OD

=（2λ，4λ），化簡

MA

•

MB

=（

OA

-

OM

）
•（

OB

-

OM

）為 10（2λ²-4λ+1），再由二次函數(shù)的性質求得函數(shù)

MA

•

MB

取值范圍．

解答：解：∵已知

OA

=（1，7），

OB

=（3，1），D為線段AB的中點，∴

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）=（2，4）．
由于M為線段OD上的任意一點，（O為坐標原點），可設

OM

=λ

OD

=（2λ，4λ），且0≤λ≤1，
故

MA

•

MB

=（

OA

-

OM

）•（

OB

-

OM

）=（1-2λ，7-4λ）•（3-2λ，1-4λ）=（1-2λ）（3-2λ）
+（7-4λ）（1-4λ）=10（2λ²-4λ+1），
由二次函數(shù)的性質可得，當λ=1時，函數(shù)

MA

•

MB

取得最小值為-10，而且函數(shù)無最大值，
故

MA

•

MB

的取值范圍為[10，+∞）．

點評：本題考查另個平面向量的數(shù)量積的運算，兩個向量共線的性質，二次函數(shù)的最值等知識，是基礎題．