Question

已知

OP

=（2，1），

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），設(shè)M是直線OP上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使

MA

•

MB

取最小值時(shí)的

OM

；
（2）對(duì)（1）中的點(diǎn)M，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），我們由M是直線OP上一點(diǎn)，則

OM

∥

OP

，求出x與y的關(guān)系，進(jìn)而求出

MA

•

MB

的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．
（2）根據(jù)（1）中答案，代入向量夾角公式cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則

OM

=(x，y)，
由題意可知

OM

∥

OP

，又

OP

=(2，1)．
所以x-2y=0即x=2y，所以M（2y，y），
則

MA

•

MB

=(1-2y，7-y)•(5-2y，1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8，
當(dāng)y=2時(shí)，

MA

•

MB

取得最小值，
此時(shí)M（4，2），即

OM

=(4，2)．
（2）∵cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

(-3，5)•(1，-1)

34 × 2

=-

4 17

17

．
∴∠AMB的余弦值為-

4 17

17

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量夾角公式，共線向量，向量的夾角公式，是向量的綜合應(yīng)用，難度適中．