Question

（本小題滿分12分）
如圖，是直角三角形，，交于點，平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

(1)見解析
（2）平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　

本試題主要是考查了立體幾何中線線垂直的證明，以及二面角的求解，綜合考查了同同學(xué)們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計算能力的運用。靈活運用定理和性質(zhì)來解決問題的運用。
（1）對于線線垂直的判定，一般通過線面垂直的性質(zhì)定理得到。關(guān)鍵是判定BM垂直于平面ACEF
（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，運用坐標(biāo)表示平面的法向量，利用法向量與法向量的夾角來求解二面角的平面角的問題。
解：（法一）（1）平面平面，．……………1分
又，平面
而平面． ………………………………………3分
是直角三角形，，．
又，．
平面，，平面．
與都是等腰直角三角形．．
，即（也可由勾股定理證得）．………………………………5分
，平面．而平面，
． ………………………………………………………………………………6分

（2）延長交于，連，過作，連結(jié)．
由（1）知平面，平面，．
而，平面．
平面，，
為平面與平面所成的二面角的平面角．    ……………………8分
在中，，，
．
由，得．
．
又，
，則．   ………………………………11分
是等腰直角三角形，．
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　 ………………………12分
（法二）（1）同法一，得．            ………………………3分
如圖，以為坐標(biāo)原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知條件得，
． ………4分
由，
得， ．  ……………6分

（2）由（1）知．
設(shè)平面的法向量為，
由 得，
令得，，            …………………………9分
由已知平面，所以取面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，
則， …………………………11分
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．    ……………………12分