Question

【題目】如圖，在五面體ABCDPN中，棱PA⊥面ABCD，AB=AP=2PN，底面ABCD是菱形，∠BAD= ．

（1）求證：PN∥AB；

（2）求NC與平面BDN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）菱形得線線平行，進而得線面平行，再得線線平行；

（2）需建立空間坐標系，找出相關點的坐標，利用公式計算得解．

（1）證明：

在菱形ABCD中，AB∥CD

∵CD面CDPN，AB面CDPN

∴AB∥面CDPN

又面ABNP∩面CDPN=PN

∴AB∥PN

（2）取CD中點M，

在菱形ABCD中，∠BAD=，可知AM⊥AB

又PA⊥面ABCD

∴以A為原點建立空間坐標系如圖

設AB=2，則B（2，0，0）

N（1，0，2），D（﹣1，，0），C（1，，0）

∴=（0，，﹣2）

=（1，0，﹣2）

=（﹣3，，0）

設面BDN的法向量為=（m，n，p）

則，得

取m=2，則n=2，p=1

即=（2，2，1）

設NC與平面BDN所成的角為θ，

則sinθ=|cos，

故NC與平面BDN所成角的正弦值為．