【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的所有零點;
(2)若,證明函數(shù)
不存在極值.
【答案】(1) (2)見證明
【解析】
(1)首先將代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的定義域,之后對函數(shù)求導(dǎo),再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo),得到
(當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號),從而得到函數(shù)
在
單調(diào)遞增,至多有一個零點,因為
,
是函數(shù)
唯一的零點,從而求得結(jié)果;
(2)根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍,得到在
上單調(diào)遞增,從而證得結(jié)果.
(1)解:當(dāng) 時,
,
函數(shù)的定義域為
,
且.
設(shè),
則
.
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
,
即函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,
(當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號).
即當(dāng)時,
(當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號).
所以函數(shù)在
單調(diào)遞增,至多有一個零點.
因為,
是函數(shù)
唯一的零點.
所以若,則函數(shù)
的所有零點只有
.
(2)證法1:因為,
函數(shù)的定義域為
,且
.
當(dāng)時,
,
由(1)知.
即當(dāng)時
,
所以在
上單調(diào)遞增.
所以不存在極值.
證法2:因為,
函數(shù)的定義域為
,且
.
設(shè),
則
.
設(shè) ,則
與
同號.
當(dāng) 時,由
,
解得,
.
可知當(dāng)時,
,即
,當(dāng)
時,
,即
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
由(1)知.
則.
所以,即
在定義域上單調(diào)遞增.
所以不存在極值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,E為棱AA1的中點,AB=2,AA1=3.
(Ⅰ)求證:A1C∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:BD⊥A1C;
(Ⅲ)求三棱錐A-BDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線:y=kx+b(k≠0)交拋物線C于A、B兩點,|AF|+|BF|=4,M(0,3).
(1)若AB的中點為T,直線MT的斜率為,證明:k·
為定值;
(2)求△ABM面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
平面
,
在棱
上.
(I)當(dāng)時,求證
平面
(II)當(dāng)二面角的大小為
時,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 離心率等于
,
、
是橢圓上的兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是橢圓上位于直線
兩側(cè)的動點.當(dāng)
運動時,滿足
,試問直線
的斜率是否為定值?如果為定值,請求出此定值;如果不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為
的直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
交于
,
兩點,且
,求直線
的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)滿足f(0)=f(1),且方程x=f(x)有兩個相等的實數(shù)根.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,3]時,求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個命題:①設(shè),則
是
的充要條件;②已知命題
、
、
滿足“
或
”真,“
或
”也真,則“
或
”假;③若
,則使得
恒成立的
的取值范圍為{
或
};④將邊長為
的正方形
沿對角線
折起,使得
,則三棱錐
的體積為
.其中真命題的序號為________.
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