Question

【題目】如圖，為方便金湖縣人民游覽三河風(fēng)景區(qū)附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)A，已知射線PM， PN為兩邊夾角為120°的公路(長(zhǎng)度均超過5千米)，在兩條公路PM，PN上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)B、C，在觀景臺(tái)A和游客上下點(diǎn)B、C之間和游客上下點(diǎn)B、C之間分別建造三條觀光線路AB，AC，BC，測(cè)得PB=3干米，PC=5千米.

（1）求線段BC的長(zhǎng)度；

（2）若∠BAC= 60°，因政府要計(jì)算修建三條觀光線路所需費(fèi)用，所以要計(jì)算AB，AC，BC三條線路的總長(zhǎng)度的取值范圍，請(qǐng)你建立合適的數(shù)學(xué)模型，幫助政府解決這個(gè)問題.

Answer 1

【答案】（1）線段BC的長(zhǎng)度為7千米；（2）

【解析】

（1）在△PBC中，利用余弦定理得到BC；
（2）設(shè)∠ABC＝，得到∠ACB＝120°，利用正弦定理將AC＋AB用表示，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求范圍.

解：（1）在△PBC中，

由余弦定理得，

，
所以線段BC的長(zhǎng)度為7千米；
（2）設(shè)∠ABC＝，因?yàn)?/span>∠BAC= 60°，所以∠ACB＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得，
，
因?yàn)?/span>，
所以，

因此

，
因?yàn)?/span>，所以 .

，則，

即，

，
所以AB，AC，BC三條線路的總長(zhǎng)度的取值范圍.