Question

已知∠A、∠B是△ABC的兩個內(nèi)角，向量

m

=(cos

A-B

2

)

i

+(

5

2

sin

A+B

2

)

j

，其中

i

， 

j

為相互垂直的單位向量．若|

m

|=

3 2

4

，證明：tanAtanB=

1

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)|

m

|=

3 2

4

 可得 cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

9

8

，利用半角公式化簡可得cos(A-B)-

5

4

cos(A+B)=0，再利用兩角和差的余弦公式化簡可得

9

4

sinAsinB=

1

4

cosAcosB，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanAtanB=

1

9

．

解答：證明：∵|

m

|=

3 2

4

，∴cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

9

8

，
∴

1+cos(A-B)

2

+

5

4

×

1-cos(A+B)

2

=

9

8

，即cos(A-B)-

5

4

cos(A+B)=0，
∴cos(A-B)=

5

4

cos(A+B)，即cosAcosB+sinAsinB=

5

4

cosAcosB-

5

4

sinAsinB，
∴

9

4

sinAsinB=

1

4

cosAcosB，∴tanAtanB=

1

9

．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，求向量的模的方法，求出cos(A-B)=

5

4

cos(A+B)，是解題的關(guān)鍵．