Question

四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分別是BC、PE的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由等腰三角形三線合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，我們易得到AD⊥平面OPE．再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到AD⊥PE；
（2）有兩種解法，一是取OE的中點F，連接FG，OG，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空間坐標系，確定各個頂點的坐標，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夾角公式，我們易求出二面角E-AD-G的余弦值，進而求出二面角E-AD-G的正切值．

解答：證明：（1）如圖，取AD的中點O，連接OP，OE∵PA=PD，∴OP⊥AD又E是BC的中點，
∴OE∥AB，∴OE⊥AD．又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE
（2）
解法一：
取OE的中點F，連接FG，OG，則由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角
∵PA=PD，∠APD=60°，∴△APD為等邊三角形，且邊長為2
∴OP=

3

2

×2=

3

，FG=

1

2

OP=

3

2

，OF=

1

2

CD=

2

2

=1，∴OG=

7

2

∴cos∠GOE=

2 7

7

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，2，0）
∴G(0，1，

3

2

)，

DA

=(2，0，0)，

DG

=(1，1，

3

2

)．設(shè)平面ADG的法向量為n=（x，y，z）
由

n• DA =0 n• DG =0

，得

2x=0 x+y+ 3 2 z=0

∴n=(0，-

3

2

，1)又平面EAD的一個法向量為

OP

=(0，0，

3

)
又因為cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

3

7 2 • 3

=

2 7

7

則sin＜n，

OP

＞=

5 7

7

，tan＜n，

OP

＞=

5

2

∴二面角E-AD-G的正切值為

5

2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及用空間向量求平面間的夾角，其中求二面角的值時，一是幾何法，關(guān)鍵是找到二面有的平面角，二是向量法，關(guān)鍵是求出兩個平面的法向量．