Question

設(shè)M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a，若將lgM，lgQ，lgP適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)．
（Ⅰ）求a的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為b_n，設(shè) ，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意有-2＜a＜13，利用作差法可比較M，P，Q中M最大，而P，Q的大小需要根據(jù)a的范圍來(lái)確定，結(jié)合等差數(shù)列及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出滿足題意的a及通項(xiàng)
（Ⅱ）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，2a_n+1=a_n+a_n+2，由f（x）=0時(shí)，（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，從而可求得，結(jié)合a_n=n-2lg2＞0，可得b_n，然后代入，利用裂項(xiàng)求和即可
解答：解：（Ⅰ）依題意有-2＜a＜13，
∵M(jìn)-P=10a²+80a+205＞0，M-Q=10a²+83a+181＞0，
∴M最大．
又P-Q=-24+3a，
當(dāng)-2＜a＜8時(shí)，P＜Q，lgP+1=lgQ．
∴10P=Q，
∴，此時(shí)M＞Q＞P，且滿足lgM=1+lgQ．
∴符合題意．
當(dāng)8＜a＜13時(shí)，P＞Q，lgP=1+lgQ．
∴10Q=P，
∴．
但此時(shí)不滿足lgM=1+lgP．
∴．
∴{a_n}的前三項(xiàng)為lgP，lgQ，lgM，此時(shí)．
∴a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2．
（Ⅱ）∵2a_n+1=a_n+a_n+2
∴x=-1是函數(shù)的零點(diǎn)
即f（x）=0時(shí)，（x+1）（a_nx+a_n+2）=0
∴，||b_n=|x₁-x₂|=
又∵a_n=n-2lg2＞0，
∴，
∴．
∴
=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性