Question

在平面直角坐標系中，點為動點，、分別為橢圓的左、右焦點．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線與橢圓相交于、兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡
方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先利用平面向量的數(shù)量積確定為鈍角，從而得到當時，必有，根據(jù)兩點間的距離公式列有關、、的方程，求出與之間的等量關系，從而求出離心率的值；（2）先求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出交點、的坐標，利用以及、、三點共線列方程組消去，從而得出點的軌跡方程.
試題解析：（1）設橢圓的焦距為，則，，，
，，
，所以為鈍角，
由于為等腰三角形，，，即，
即，整理得，即，
由于，故有，即橢圓的離心率為；
（2）易知點的坐標為，則直線的斜率為，
故直線的方程為，由于，，
故橢圓的方程為，即，
將直線的方程代入橢圓方程并化簡得，解得或，
于是得到點，，
（2）設點的坐標為，由于點在直線上，所以，
，
，
，
即，
整理得，即點的軌跡方程為.