Question

如圖，已知圓E：，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）已知A，B，C是軌跡的三個動點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在最小值．點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，

試題分析：（1）連結(jié)QF，由于線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）首先考慮直線AB的斜率為0或斜率不存在的情況，此時易得．當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為，將△ABC的面積用含k的式子表示出來，然后利用重要不等式求其最小值.
（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故動點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓． 2分
設(shè)其方程為，可知，，則，  3分
所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為為． 4分
（2）存在最小值． 5分

（ⅰ）當(dāng)AB為長軸（或短軸）時，可知點(diǎn)C就是橢圓的上、下頂點(diǎn)（或左、右頂點(diǎn)），則． 6分
（ⅱ）方法一、當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為，設(shè)點(diǎn)，
聯(lián)立方程組消去y得，，
由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足，，則，，                                        8分
則．           9分
由于，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
綜合（�。�（ⅱ），當(dāng)時，△ABC的面積取最小值， 11分
此時，，即，，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分
方法二、前同（ⅰ），記，則，所以，
故，
當(dāng)，即時，有最大值，此時取得最小值．
綜合（ⅰ）（ⅱ），當(dāng)時，△ABC的面積取得最小值． 11分
此時，，即，，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分
方法三、設(shè)，，根據(jù)A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則，所以，
由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，，，
由，                           ①
且點(diǎn)C在橢圓上，則             ②
聯(lián)立①②，解得，，所以， 8分
所以， 9分
又，即，所以，
記，，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
綜合（�。�（ⅱ），當(dāng)時，有最小值． 11分
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分