Question

已知線段AB過y軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0），斜率為k，兩端點(diǎn)A，B到y(tǒng)軸距離之差為4k（k＞0），
（1）求以O(shè)為頂點(diǎn)，y軸為對稱軸，且過A，B兩點(diǎn)的拋物線方程；
（2）設(shè)Q為拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過Q作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN過一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得x²-2pkx-2pm=0，利用韋達(dá)定理能求出p，從而求出拋物線方程．
（2）設(shè)M（x₁，），N（x₂，），Q（x，-1），由k_MQ=，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推導(dǎo)出直線MN過點(diǎn)（0，1）．
解答：解：（1）設(shè)AB的方程為y=kx+m，過A，B兩點(diǎn)的拋物線方程x²=2py，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依題意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．（6分）
（2）設(shè)M（x1，），N（x2，），Q（x，-1），
∵k_MQ=，
∴MQ的方程為y-=（x-x1），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵M(jìn)Q過Q，∴x₁²-2x₁x-4=0，
同理x₂²-2x₂x-4=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2xx-4=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=，
∴MN的方程為y-=（x-x₁）
∴y=x+1，
所以直線MN過點(diǎn)（0，1）．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．