Question

已知線段AB過y軸上一點P（0，m）（m＞0），斜率為k，兩端點A，B到y(tǒng)軸距離之差為4k（k＞0），
（1）求以O(shè)為頂點，y軸為對稱軸，且過A，B兩點的拋物線方程；
（2）設(shè)Q為拋物線準(zhǔn)線上任意一點，過Q作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過一定點．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2=2py  y=kx+m

，得x²-2pkx-2pm=0，利用韋達定理能求出p，從而求出拋物線方程．
（2）設(shè)M（x₁，

x 2 1

4

），N（x₂，

x 2 2

4

），Q（x₀，-1），由k_MQ=

x1

2

，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推導(dǎo)出直線MN過點（0，1）．

解答：解：（1）設(shè)AB的方程為y=kx+m，過A，B兩點的拋物線方程x²=2py，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由

x2=2py  y=kx+m

，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依題意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．（6分）
（2）設(shè)M（x1，

x 2 1

4

），N（x2，

x 2 2

4

），Q（x₀，-1），
∵k_MQ=

x1

2

，
∴MQ的方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x1），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ過Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2x₀x-4=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=

x1+x2

4

，
∴MN的方程為y-

x 2 1

4

=

x1+x2

4

（x-x₁）
∴y=

x1+x2

4

x+1，
所以直線MN過點（0，1）．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．