Question

已知：函數(shù)（其中常數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的最值以及函數(shù)的定義域和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811181483646294/SYS201209081118396629831407_DA.files/image006.png">．  

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)得到單調(diào)性的判定。

（2）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，那么對(duì)于參數(shù)a分類(lèi)討論得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811181483646294/SYS201209081118396629831407_DA.files/image006.png">．  

.     由，解得.     由，解得且．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．

（Ⅱ）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立．                          

若即時(shí)，

x		a+1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴在上的最小值為．

則，得．     

若即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為．

由得（舍）．

綜上所述，．