Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于P到圓x²-3x+y²=0的切線長，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E；
（1）求曲線E的方程；
（2）試求出定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q任作一直線與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，都有

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|•|NQ|

=λ為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），圓方程x²-3x+y²=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為：(x-

3

2

)2+y2=

9

4

，利用動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于P到圓x²-3x+y²=0的切線長，可得方程，化簡即得曲線E的方程；
（2）設(shè)定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），設(shè)出過點(diǎn)Q任作的直線方程

x=m+tcosa y=n+tsina

（α為直線的傾斜角）代入曲線E的方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理，得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

t1t2=

n2-3m

sin2α

，利用直線參數(shù)方程的意義，知|MQ|=t₁，|NQ|=t₂，利用

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|•|NQ|

=λ為定值，可求定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），圓方程x²-3x+y²=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為：(x-

3

2

)2+y2=

9

4

則有|x|=

(x- 3 2 )2+y2- 9 4

∴x²=x²-3x+y²
∴y²=3x
∴曲線E的方程為：y²=3x
（2）設(shè)定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)Q任作的直線方程可設(shè)為：

x=m+tcosa y=n+tsina

（a為直線的傾斜角）
代入曲線E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα）
sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0
由韋達(dá)定理，得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

由直線參數(shù)方程的意義，知：|MQ|=t₁，|NQ|=t₂

∴

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|2|NQ|2

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 3cosα-2nsinα sin2α )2-2( n2-3m sin2α )

( n2-3m sin2α )2

=

(3cosα-2nsinα)2-2(n2-3m)sin2α

(n2-3m)2

=

9cos2α-12nsinαcosα+2n2sin2α+6msin2α

(n2-3m)2

=

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

令-12n與2n²+6m-9同時(shí)為0，得n=0，m=

3

2

此時(shí)

|MQ|2+|NQ|2

|MQ|2|NQ|2

=

4

9

為定值，
即

|MQ|2+|NQ|2

|MQ||NQ|

=

2

3

為定值
∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(

3

2

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線的參數(shù)方程，考查軌跡方程的求解，考查直線的參數(shù)方程，同時(shí)考查參數(shù)的幾何意義，解決恒為定值問題，一般式先把定值探求出來，再求定點(diǎn)的坐標(biāo)，有難度．