Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．S_n為數列{b_n}的前n項和．
（1）對任意實數λ，證明：數列{a_n}不是等比數列；
（2）對于給定的實數λ，試求數列{b_n}的通項公式，并求S_n．
（3）設0＜a＜b（a，b為給定的實常數），是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設存在一個實數?，使{a_n}是等比數列，由題意知（ ）²=² ，矛盾．所以{a_n}不是等比數列．
（2）研究數列相鄰兩項，看相鄰項的關系，以確定數列b_n的性質，然后求出其通項公式；最后根據等比數列的求和公式并求S_n
（3）求出數列的前n項和，然后根據形式結合指數函數的性質求出其最值，則參數的范圍易知．
解答：證明：（1）假設存在一個實數?，使{a_n}是等比數列，則有a₂²=a₁a₃，
即（）²=²，
矛盾．所以{a_n}不是等比數列．
（2）因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=-（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n
當λ≠-18時，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴（n∈N⁺）．
故當λ≠-18時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-為公比的等比數列．，
當λ=-18時，b_n=0，S_n=0
（3）由（2）知，當λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，
要使a＜S_n＜b對任意正整數n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺）…①

當n為正奇數時，1＜f（n），
∴f（n）的最大值為f（1）=，f（n）的最小值為f（2）=，
于是，由①式得a＜-（λ+18）＜．
當a＜b≤3a時，由-b-18≥=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；
當b＞3a存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．
點評：本題屬于數列綜合運用題，考查了由所給的遞推關系證明數列的性質，對所給的遞推關系進行研究求數列的遞推公式以及利用數列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數的取值范圍，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．