Question

已知直線(xiàn)l：y=2x+1和圓C：x²+y²=4，
（1）試判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系．
（2）求過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心C到直線(xiàn)l的距離d，判定d與r的大小即可確定出直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線(xiàn)的方程為x=-1時(shí)，不合題意舍去；設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線(xiàn)的方程的斜率為k，得出切線(xiàn)方程為kx-y+k+2=0，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列出關(guān)于k的方程，求出k值，從而得出切線(xiàn)方程．

解答：解：（1）因?yàn)閤²+y²=4，
所以圓心為（0，0），半徑r=2．
又因?yàn)閥=2x+1，
所以圓心到直線(xiàn)的距離為d=

|2×0-0+1|

22+12

=

5

5

＜2=r．
所以直線(xiàn)與圓相交．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線(xiàn)的方程為x=-1時(shí)，不合題意舍去
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線(xiàn)的方程的斜率為k，
則切線(xiàn)方程為kx-y+k+2=0，
由

|k+2|

1+k2

=2，
化簡(jiǎn)得3k²-4k=0
解得k=0或k=

4

3

所以切線(xiàn)方程為y=0或4x-3y+10=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，要求學(xué)生掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．圓心到直線(xiàn)的距離為d，圓的半徑為r，當(dāng)d＞r時(shí)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線(xiàn)與圓相交．