Question

設(shè)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和為S_n，若Sm=

m

n

，Sn=

n

m

(m，n∈N* 且m≠n），則S_m+n 與4 的大小關(guān)系是（　�。�

• A、S_m+n＞4
• B、S_m+n=4
• C、S_m+n＜4
• D、與m，n的取值有關(guān)

Answer 1

分析：分別利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出Sn，Sm及Sm+n，然后將Sn=nm和Sm=mn的值代入Sm+n，化簡(jiǎn)后，根據(jù)m，n為正整數(shù)且m不等于n，取最小m=1，n=2，求出此時(shí)公差d的值，即可得到Sm+n的最小值，求出的最小值大于4，得到正確答案．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
sn=

(a1+an)•n

2

=

n•(2a1+(n-1)d)

2

=

n

m

，，
同理sm=

m•[2a1+(m-1)d]

2

=

m

n

，
sm+n= 

(m+n)(2a1+(m+n-1)d)

2

=

m[2a1+(m+n-1)d]

2

+

n[2a1+(m+n-1)d]

2

    
=

n[2a1+(n-1)d]

2

+

m[2a1+(m-1)d]

2

+mnd
=

n

m

+

m

n

+mnd，
因?yàn)閙，n為正整數(shù)，且m≠n，令n＞m，m=1，n=2，
將m=1，n=2代入Sn中得到2a₁+d=2；代入Sm中得到a1=

1

2

，
解得d=1，
則Sm+n＞2+

1

2

+2＞4．排除B、C、D．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．