Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為三個(gè)不同的定點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心的圓與線段都相切.

（Ⅰ）求圓的方程及的值；

（Ⅱ）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求的值；

（Ⅲ）在直線上是否存在異于的定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, ；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑求解；（Ⅱ）用坐標(biāo)表示向量積，再聯(lián)立直線與圓方程，消元代入向量積求解；（Ⅲ）假設(shè)A、P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式與建立等式，再根據(jù)A、P分別滿足直線和圓的方程化簡(jiǎn)等式，最后根據(jù)等式恒成立的條件求解.

（Ⅰ）由于圓與線段相切，所以半徑.

即圓的方程為.

又由題與線段相切，

所以線段方程為.即.

故直線的方程為.

由直線和圓相切可得：，

解得或.由于為不同的點(diǎn)，所以.

（Ⅱ）設(shè)，，則.

由可得，

，解得.所以.

故.

所以.所以.

故.

（Ⅲ）設(shè).

則，.

若在直線上存在異于的定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，

都有為常數(shù),

等價(jià)于對(duì)圓上任意點(diǎn)恒成立.

即.

整理得.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.

由于在圓上，所以.

故對(duì)任意恒成立.

所以顯然，所以.

故，

因?yàn)?/span>，解得或.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，舍去.

當(dāng)時(shí)，，

綜上，存在滿足條件的定點(diǎn)，此時(shí).